费马点

在几何学中,费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和

$$ P A+P B+P C $$

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。[1]托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

作法

  • 当有一个内角不小于120°时,费马点为此角对应顶点。
  • 当三角形的内角都小于120°时

    • 以三角形的每一边为底边,向外做三个正三角形$\small \mathrm{ABC}^{\prime}, \quad \triangle \mathrm{BCA}^{\prime}, \quad \triangle \mathrm{CAB}^{\prime}$
    • 连接CC'、BB'、AA',则三条线段的交点就是所求的点。

几何证明

三角形的内角都小于120°的情况:

首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。
设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的,三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的,所以角$ {\displaystyle \angle \mathrm {C'PB} }$等于60度,和 ${\displaystyle \angle \mathrm {C'AB} }$ 相等。因此,A、B、C'、P四点共圆。同样地,可以证明A、B'、C、P四点共圆。于是:

${\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }}$
从而${\displaystyle \angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }}$。于是可以得出:A'、B、C、P四点共圆,即
${\displaystyle \angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }}$
${\displaystyle \angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }}$
A、A'、P三点共线。也就是说CC'、BB'、AA'三条线交于一点。
接下来证明交点P就是到三个顶点距离之和最小的点。
在线段AA'上选择一点Q,使得QP = PC。由于 ${\displaystyle \angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }}$,所以等腰三角形PQC是正三角形。于是 ${\displaystyle \angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} }$。同时QC = PC、BC = A'C,于是可以得出三角形BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' = PB。综上可得出:

PA + PB + PC = AA'
对于平面上另外一个点P',以P'C为底边,向下作正三角形P'Q'C。运用类似以上的推理可以证明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有:

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A
平面上两点之间以直线长度最短。因此

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC.
也就是说,点P是平面上到点A、B、C距离的和最短的一点。

最后证明唯一性。
如果有另外一点P'使得P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC,那么

AA' = AP' + P'Q' + Q'A'
因此点P'和Q'也在线段AA'之上。依照P'和Q'的定义,可以推出

${\displaystyle \angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }}$
因此P'也是CC'、BB'、AA'三条线的交点。因此P'点也就是P点。因此点P是唯一的。

有一内角大于120°的情况。
如右图, ${\displaystyle \angle \mathrm {BAC} }$大于120°,P为三角形内一点。以BA为底边,向上作正三角形BAF;以PA为底边,向上作正三角形PAQ。于是三角形AQF和三角形APB是全等三角形。FQ = PB。所以

PA + PB + PC = FQ + QP + PC.
延长FA交QC于D点,则

FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC.
即PA + PB + PC > AB + AC.

所以A点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小,即A点为费马点.

推广

费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有m个点:P1 , P2 , ... , Pm,又有正实数:λ1 , λ2 , ... , λm。费马问题可以推广为:寻找一个点X,使得它到这m个点的距离在加权后之和:
${\displaystyle \lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}}$
是最小的。

Reference

  1. 张雄. 《费马一一斯坦勒尔问题与平衡态公理》 (PDF). 《数学传播》(PDF).
  2. Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插图版.2009.
  3. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer.
  4. O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer,第2版,插图版. 2008.