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前言

点到直线的距离:是指点到直线的垂线段的长度。


求$P_0(x_0,y_0)$到直线$l:Ax+By+C=0$的距离的一般步骤:

  1. 由直线 $l$的斜率求出经过点且与直线垂直的直线的斜率,根据点斜式求出直线的方程。
  2. 根据两条直线的方程求出交交点$Q$的坐标。
  3. 由交点$Q$的坐标和$P$的坐标,根据两点间距离公式求点到直线的距离。

  • 由于初中不讨论一次函数的一般式即$l:Ax+By+C=0$,通常使用斜截式即$l:y=kx+b$且此一般步骤较为繁杂,故本文使用面积法推导斜截式的公式。
  • 对直线方程有兴趣的可以了解一下直线方程的各种形式

公式

一般式:已知点$P_0(x_0,y_0)$和直线$l:Ax+By+C=0$

$$ \large x=\frac{\sqrt{Ax_p+Bx_p+C}}{\sqrt{A^2+b^2}} $$

斜截式:已知点$P_0(x_0,y_0)$和直线$l:y=kx+b$

$$ \large x=\frac{\sqrt{y_p-kx_p-b}}{\sqrt{k^2+1}} $$

推导

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如图中,分别过P点作$x$轴$y$轴的平行线,交直线$l:y=kx+b$于B、C两点,作$PD\perp BC$于$l$

$$B(x_0,k x_0+b),C(\frac{y_0-b}{k} , y_0)$$
易得
$$\Rightarrow PB=\left|y_B-y_P\right|=\left|k x_0+b-y_0\right|$$

$$PC=\left|x_B-x_C\right|=\left|x_0-\frac{y_0-b}{k}\right|\\=\left| \frac{k x_0+b-y_0}{k} \right|$$
进而
$$\Rightarrow BC=\sqrt {(\frac{k x_0+b-y_0}{k})^2+(x_0+b-y_0)^2}\\=\frac{\sqrt { \sqrt {k^2+1}(k x_0+b-y_0)^2}}{k}$$
因为
$$\frac{BP \cdot PC}{2}=\frac{BC \cdot PD}{2}\Rightarrow PD=\frac{BP \cdot CP}{BC}$$
进而
$$\Rightarrow PD=\frac {\left|k x_0+b-y_0\right| \cdot \left| \frac {k x_0+b-y_0}{k} \right|}{\frac{\sqrt { \sqrt {k^2+1}(k x_0+b-y_0)^2}}{k}} \\=\frac {\left|k x_0+b-y_0\right|}{\sqrt {k^2+1}}$$
证毕。